SOMAS DE PERMUTAÇÕES SIMPLES DE QUATRO ELEMENTOS
A análise combinatória é uma das áreas da matemática discreta que oferece uma maior gama de soluções inventivas e diferenciadas para problemas do cotidiano e inerentes às ciências, principalmente a informática. Os compêndios de nível médio e superior destacam essa área de conhecimento também de forma muito diversa, porém, alguns problemas são grandes clássicos e é quase impossível não trabalhar com eles. É natural que o professor não se prepare para grandes surpresas ao ministrar o conteúdo.
O problema abaixo parece relativamente simples, e não deixa de ser, visto que fazer a soma das permutações simples de 4 dígitos teria como solução, simplesmente, a soma dos 24 números resultantes. Para evitar a desgastante operação, a melhor idéia parece ser a observação de que cada um dos 4 números deve aparecer 6 vezes em cada posição, logo, cada coluna seria igual à soma de
6X Nº , e depois somam-se as colunas .
Problema : Dados os numerais significativos 1,2,3,4,5,6,7,8,9 , escolhendo-se quatro desses números, formar permutações simples de quatro elementos Então, vamos achar a soma dessas permutações.
Observação : o problema original foi proposto para os numerais 1,2,3 e 4.
Soluções :
a) Sabemos que P4 = 24, e teremos, nesses 24 elementos ,
6 elementos que tem o numeral 1 na última coluna,
6 com o numeral 2, 6 com o numeral 3 e 6 com o numeral 4,
assim como 6 com cada numeral para as outras três colunas.
Logo a soma será dada pôr 6.1 + 6.2 + 6.3 + 6.4 = 60 para cada coluna,
o que totaliza 66660 para a somatória.
Proposto o problema, deixei os inevitáveis 10 ou 15 minutos para resolverem, tendo uma certa certeza de que iriam utilizar a fórmula da P.A. Como não era uma P.A. , eu faria aquela intervenção - viu, como vocês não prestam atenção e tal !
b) A aluna Edna do curso de Ciências Contábeis da FAE (Ctba. – Pr.) achou o mesmo resultado usando a fórmula da P.A.. Outras séries foram testadas, sempre para quatro elementos, e em algumas a fórmula da P.A.. dava o resultado correto, e em outros o resultado dava uma diferença , múltipla positiva ou negativa, de uma constante. Tudo isso foi verificado pela própria aluna, como nos exemplos abaixo :
1,2,3,4 , S = 66660 , pela P.A . 66660
l,3,5,7 , S = 106656, o mesmo valor pela P.A .
2,5,6,9 , S = l46652 , o mesmo valor pela P.A .
1,2,3,7 , S = 86658, pela P. A . a soma verificada é de 102696 , a
diferença entre as duas é de 16038
1,2,3,5 , S = 73326, pela P.A . a soma verificada é de 78672, a
diferença entre as duas é de 5346
2,5,6,8 , S = l39986, pela P.A . a soma verificada é de l34640, a
diferença entre as duas é de - 5346 .
A própria aluna verificou que a constante é K = 5346 , aparecendo como múltipla positiva ou negativa nos casos em que a soma verificada era diferente daquela obtida pela P.A .
c) Em seguida, verifiquei alguns resultados, para permutações simples com quatro elementos e suas respectivas somas :
- para os algarismos significativos 1,2,3,4,5,6,7,8, e 9 ,
poderemos formar 126 combinações de quatro elementos com esses dígitos, aonde 34 terão a soma de seus elementos iguais à soma dadas pela fórmula da P.A ., e as outras terão, como nos exemplos acima, uma diferença de um múltiplo de K = 5346
- a fórmula verificada para todas as séries de quatro números é :
S = (D1 – D2) . K + Sp , (1)
aonde S é a soma das permutações, Sp a soma da P.A. ,
K a constante, e D2 = A4 – A3 , D1 = A2 – A1,
aonde A1, A2, A3 e A4 são os elementos escolhidos para as permutações
- para aquelas séries em que S e Sp são iguais D1 – D2 = 0 ,
e para aquelas em que S e Sp são diferentes D1 – D2
EXEMPLOS :
Vejamos alguns exemplos de agrupamentos, aonde, nos dois primeiros a diferença D1 - D2 0 , e no terceiro ocorrendo D1 - D2 = 0 :
a) 1,2,3,5 , S = 73326 e Sp = 78672 , pela fórmula temos :
S = (1 – 2 ) . 5346 + 78672 = 73326
b) 1,4,5,6 , S = 106656 e = 9 Sp = 5964
S = (3 – 1) . 5346 + 95964 = 106656
c) 2,4,6,8 , S = 133320 e = Sp = 133320
S =(2 –2) . 5346 + 133320 = 133320
POR QUE A FÓRMULA DA P.A. FUNCIONA EM ALGUNS CASOS ?
Examinemos o exemplo original: para os dígitos 1,2,3 e 4 , ao formarmos as 24 permutações com esses quatro algarismos verificaremos que , de fato, os números não estão, de forma alguma, em P.A . O que acontece é que ao dispormos os números em ordem crescente, a mesma propriedade que originou a fórmula da P.A . verifica-se entre eles , ou seja, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é igual. Vejamos :
1234 + 4321 = 5555
1243 + 4312 = 5555
1324 + 4231 = 5555
1342 + 4213 = 5555 ......
Logo, poderemos aplicar a fórmula da soma da P.A., tomando como A = 1234,
A = 4321 e n = 24 , vem :
S = (1234 + 4321).24 = 6660
Obteremos o mesmo resultado para quaisquer outra série de quatro números desde que a diferença entre o segundo e o primeiro subtraída da diferença entre o quarto e o terceiro seja zero, como no exemplo :
3,5,7,9 , A1 = 3579 e A24 = 9753 Pela fórmula (1) a soma seria :
S = (2 – 2) . 5346 + 159984 = 159984 , aplicando a fórmula da P.A .
logo : S = (3579 + 9753) . 12 = 159984 .
A CONSTANTE K
Vejamos como é formada a constante K . Para isso tomemos como exemplo o agrupamento 1,2,3,5 . Se a propriedade da soma dos termos eqüidistantes dos extremos fosse verdadeira, teríamos 12 parcelas de 6556, pois 1235 + 5321 = 6556. Ao invés disso, temos apenas duas somas iguais a 6556
As somas dos elementos eqüidistantes dos extremos são :
1235 + 5321 = 6556
1253 + 5312 = 6565
1325 + 5231 = 6556
1352 + 5213 = 6565
1523 + 5132 = 6655
1532 + 5123 = 6655
2135 + 3521 = 5656
2153 + 3512 = 5665
2315 + 3251 = 5566
2351 + 3215 = 5566
2513 + 3152 = 5665
2531 + 3125 = 5656
a soma , pela fórmula da P.A . seria de 78672. Pela fórmula (1) , seria :
S = (1 –2). 5346 + 78672 = 73326 . Veja como é calculada a constante :
Somas : 2. 5636 + 2. 900 = 1800
2. 5566 + 2. 990 = 1980
2. 5665 + 2. 891 = 1782
5562
Subtrações : 2. 6565 - 2. 009 = 0018
2. 6655 - 2. 099 = 0198 +
0216
5562
216 -
5346
4.4 OUTRA CONSTANTE
A seguir , apresentamos resultados que foram desenvolvidos posteriormente, mas que também poderiam ser apresentados para os alunos na seqüência , ou mesmo apresentados como uma questão ou desafio do problema inicial. Se optarmos pela possibilidade de um novo questionamento, seria interessante analisarmos a maneira de fazê-lo, visto que sugerir a subtração da soma de agrupamentos pode ser a única maneira de levá-los a acertarem no resultado. Quando subtrairmos as somas dos agrupamentos 1,2,3,4 e 1,2,3,5 teremos
73326 – 66660 = 6666 .
Tomaremos esse resultado como uma constante K4 , e tomando o valor da soma de permutações do primeiro agrupamento , 66660, poderemos achar a soma de permutações de qualquer outro agrupamento de 4 elementos a partir da fórmula :
S = (n2 – n1) . K 4 + 66660 (2)
aonde n1 = 1 + 2 + 3 + 4 , e n2 é igual à soma dos elementos do agrupamento cuja soma de permutações queremos calcular.
EXEMPLOS :
a) 1,2,3,7 , N2 = 1+2+3+7 = 13 , S = (13 – 10) . 6666 + 66660 = 86658
b) 2,4,5,7 , N2 = 2+4+5+7 = 18 , S = ( l8 – 10) . 6666 + 66660 = 119988
c) 4,6,7,9 , N2 = 4+6+7+9 = 26 , S = (26 – 10) . 6666 + 66660 = 173316
SOMAS DE PERMUTAÇÕES SIMPLES COM NÚMERO DE ELEMENTOS DIFERENTES DE 4
Para o pesquisador todas as possibilidades devem ser exploradas, e como se verá a seguir, os agrupamentos de três, quatro, cinco seis e sete elementos, também admitem constantes e um raciocínio similar ao que foi feito para o agrupamento de quatro elementos. Nestes casos, porém, o que vai funcionar é o tipo de subtração efetuada entre a soma de dois agrupamentos seqüenciais, como 1,2,3 e 1,2,4 .Para o aluno, talvez seja conveniente apenas sugerir essa possibilidade e apresentar por escrito a solução para aqueles que vierem a se interessar. Foram obtidas as seguinte constantes :
- não foi encontrada constante para agrupamento de dois elementos
- três elementos : a soma de 1,2,3 é igual a 1332, de 1,2,4 é 1554 , subtraindo as duas somas , obteremos K3 = 222.
Verifiquemos para : 4,6,9 N2 = 19, N1 = 6,
S = 13. 222 + 1332 = 4218
- cinco elementos : K5 = 266664 .
Verificação : 3,4,5,6,9 , N2 = 27 ,
N1 = 1 , S = 12. 266664 + 3999960 = 7199928
- seis elementos : K6 = 13333320
- sete elementos : K7 = 799999920
ALGUNS DADOS : veremos ,a seguir, alguns dados obtidos no cálculo das somas, usando as constantes e S1:
a) permutação simples de 4 elementos - valores das somas
1,2,3,4 = 66660
1,2,3,5 = 73326
3,5,7,9 = 159485
2,5,6,9 = 146652
1,3,5,7 = 106656
2,4,5,7 = 119988
1,2,3,7 = 86658
b) permutação simples de cinco elementos - valores das somas
1,2,3,4,5 = 3999960
1,3,4,5,7 = 5333280
1,2,3,4,6 = 4266624
3,4,5,6,7 = 6666600
3,4,5,6,9 = 7199928
c) permutação simples de 6 elementos - valores das somas
1,2,3,4,5,6 = 279999720
1,2,3,4,5,7 = 293333040
d) permutação simples de 7 elementos - valor da soma
1,2,3,4,5,6,7 = 22399997760
e) permutação simples de 3 elementos - valores das somas
1,2,3 = 1332
1,2,4 = 1554
4,6,9 = 4218
RESULTADOS
S2 = 33 K2 = 11
S3 = 1332 K3 = 222
S4 = 66660 K4 = 6666
S5 = 3999960 K5 = 266664
S6 = 279999720 K6 = 13333320
S7 = 22399997760 K7 = 799999920
Além disso, foi observado que :
a) todas as constantes, com exceção de K2 , são divisíveis por 6
b) todas as somas, com exceção de S2, são divisíveis pôr 6
c) dividindo-se as constantes, uma pela outra, encontra-se :
K3 : K2 = 20,181818....
K4 : K3 = 30,127027027
K5 : K4 = 40,000360036....
K6 : K5 = 50,0004500045
d) dividindo-se as somas umas pelas outras, encontra-se
S3 : S2 = 40,363636...
S4 : S3 = 50,045045....
S5 : S4 = 60,00540054...
S6 : S5 = 70,0006300063....
S7 : S6 = 80,000072000072....
TABELA 1
Nº DE LEMENTOS CONSTANTE SOMA
2 K2 = 11 S2 = 33
3 K3 = 222 S3 = 1332
4 K4= 6666 S4 = 66660
5 K5 = 266664 S5 = 3999960
6 K6 = 13333320 S6 = 279999720
7 K7= 799999920 S7 = 22399997760
SOMAS DE ARRANJOS SIMPLES
Poderemos estender para arranjos simples os mesmos resultados que encontramos em permutações simples ? E se isso for possível, a fórmula da P.A. terá validade também para arranjos? Ou isso é possível apenas para agrupamentos de quatro elementos?
Como parece natural, verificou-se a validade dos resultados precedentes para arranjos simples, ou seja aqueles agrupamentos em que a taxa é diferente do número de elementos do agrupamento. Achamos constantes obtidas pela subtração da soma dos agrupamentos seqüenciais como, por exemplo, os agrupamentos 1,2,3,4 e 1,2,3,5 .
a) Agrupamentos de 4 elementos
Taxa 2
a) 1,2,3,4 , S1 = 330 pois :
3.1 + 3.2 + 3.3 + 3.4 = 3 + 6 + 9 + 12 = 30
logo a soma é 30 em cada coluna e vem : 30 30
S = 330
b) 1,2,3,5 , S = 363
c) 1,2,3,6 , S = 396
d) 1,2,3,7 , S = 429
e) 1,2,3,8 , S = 462
f) 1,2,3,9 , S = 495 ;
g) 2,3,4,5 , S = 462
h) 2,3,4,6 , S = 495
i) 3,5,7,8 , S = 789
j) 5,6,8,9 , S = 924
A CONSTANTE : K = 363 – 330 = 33 , soma de 1,2,3,5 - 1,2,3,4
A FÓRMULA : S = (n2 – n1).33 + 330 , aonde :
n2 é a soma dos elementos do grupo em questão,
n1 soma dos elementos de 1,2,3,4 , 33 é a constante K,
330 é a soma dos arranjos simples de 1,2,3,4
Taxa 3
a) 1,2,3,4 , S1 = 6660
b) 1,2,3,5 , S =7860
c) 1,2,3,6 , S = 7992
d) 1,2,3,7 , S =8658
e) 1,2,3,8 , S = 9324
f) 1,2,3,9 , S =9990
g) 2,3,4,5 , S = 9324
h) 3,5,7,8 , S=15318
A CONSTANTE : K = 7860 –6660 = 1200
A FÓRMULA : S = (n2 – n1).1200 + 6660
b) Agrupamentos de 5 elementos
Taxa 2
a) 1,2,3,4,5 , S = 704 , S1 = 660 , K = 704 – 660 = 44 ;
b) 1,2,3,4,6 , S = (N2 – N1). 44 + 660
c) 3,4,5,7,9 , S = (N2 – N1).44 + 660 = 1232
TAXA 3
a) 1,2,3,4,5 , S1 = 19980 , A5,3 = 60 ,
1,2,3,4,6 , S=21312
K = 21312 – 19980 = 1332 , S =(n2 – n1).1332 + 19980
b) 2,3,4,7,8 , 24.12 = 288 ,
vem : 288 288 288
31968
S = 9. 1332 + 19980 = 31968
Taxa 4
a) 1,2,3,4,5 , S1 = 399960 , A5,4 = 120 ;
b) 1,2,3,4,6 , S = 426624
K = 426624 – 399960 = 26664 ;
S = (n2 – n1).26664 + 399960
Exemplo : 2,3,5,7,9 , 24.26 = 624 ,
624 624 624 624 = 693264
S = (26 – 15).26664 + 399960
c) Agrupamentos de 6 elementos
Taxa 2
a) 1,2,3,4,5,6 ,
A6,2 = 6.5 = 30,
30 : 6 = 5, 5.(1+2+3+4+5+6) = 105
l05 105
1155 , S1 = 115
1,2,3,4,5,7 , 5.22 = 110 , 110 110
1210 , S = 1210
K = 1210 – 1155 = 55 ,
S = (n2 – n1).55 + 1155
Taxa 3
a) 1,2,3,4,5,6 , A6,3 = 6.5.4 = 120 ,
120 : 6 = 20 , 20.21 = 420
420 420 420
46620 , S1 = 46620
b) 1,2,3,4,5,7 , 20.22 = 440 , 440 440 440
48840 , S = 48840
K = 48840 – 46620 = 2220 ,
S = (n2 – n1).2220 + 46620
Taxa 4
a) 1,2,3,4,5,6 , A6,4 = 6.5.4.3 = 360 ,
360 : 6 = 60, 60.21 =
1260 1260 1260 1260
139986 , S1 = 1399860
1,2,3,4,5,7 , 60 . 22 = 1320 ,
1320 1320 1320 1320
1466520 , S = 1466520
K = 146620 – 1399860 = 66660 ,
S = (n2 – n1). 66660 + 1399860
b) 2,3,4,5,7,8 , 29 . 60 = 1740 ,
1740 1740 1740 1740
S = 1933140
S = (n2 – n1) . K + S1 = (29 – 21) . 66660 + 1399860 = 19933140
Taxa 5
a) 1,2,3,4,5,6 , A6,5 = 6.5.4.3.2 = 720 ,
720 : 6 = 120 , 120 . 21 = 2520
2520 2520 2520 2520
27999720 , S1 = 27999720
1,2,3,4,5,7 , 120 . 22 = 2640 , 2640 2640 2640 2640
29333040, S = 29333040
K = 29333040 – 27999720 = 1333320 ,
S (n2 – n1) . 1333320 + 27999720
d) Agrupamentos de 7 elementos
Taxa 2
1,2,3,4,5,6,7 , A7,2 = 7 .6 = 42 , S1 = 2156
1,2,3,4,5,6,8 , S = 2233 ,
logo a fórmula para taxa 2 será
K = 2233 – 2156
S = (n2 – n1).77 +2156
Taxa 3
1,2,3,4,5,6,7 , A7,3 = 7.6.5 = 210 , S1 = 93240
1,2,3,4,5,6,8 ,
S = 96570 , logo teremos :
K = 96570 – 93240 = 3330
S = (n2 – n1).3330 + 93240
TAXA 4
1,2,3,4,5,6,7 , A7,4 = 7.6.5.4 = 840 , S1 = 3732960
1,2,3,4,5,6,8 ,
S = 3866280 logo :
K = 133320 S = (n2 – n1).133320 + 3732960
TAXA 5
1,2,3,4,5,6,7 , A7,5 = 7.6.5.4.3 = 2520 , S1 = 111998880
1,2,3,4,5,6,8 ,
S = 115998840 logo :
K = 3999960 S= (n2 – n1).3999960 + 111998880
TAXA 6
1,2,3,4,5,6,7 , A7,6 = 7.6.5.4.3.2 = 5040 , S1 = 2239997760
1,2,3,4,5,6,8 , S = 2319997680 logo :
K = 79999920 S = (n2 – n1).79999920 + 2239997760
e) Agrupamentos de 8 elementos
Os agrupamentos de oito elementos têm para o cálculo de suas constantes e somas o mesmo processo dos anteriores, que já foram exaustivamente listados, e seus valores serão dados na tabela abaixo :
SOMAS DE ARRANJOS SIMPLES - TABELA 2
Nº de Elementos Taxa Constante (K) Soma Inicial (SI)
4 2
3 33
1200 330
6660
5 2
3
4 44
1332
26664 660
19980
39960
6 2
3
4
5 55
2220
66660
1333320 1155
46620
1 399860
27999720
7 2
3
4
5
6 66
3330
133320
3999960
79999920 1848
93240
3732960
111998880
2239997760
8 2
3
4
5 77
4662
233310
9333240
2772
167832
8399160
335996640
ARRANJOS SIMPLES : convém verificar, também, a utilização da fórmula da P.A. para a taxa dois em agrupamentos de quatro elementos.
S = Sp – (n2 – n1). 27 , aonde : Sp : soma obtida com a
fórmula da P.A.
S : soma
n2 : A4 – A3
n1 : A2 – A1
27 : constante
EXEMPLOS :
a) 1,2,3,4 , Sp = (12 + 43).6 = 55.6 = 330 , S = 330 – (1 – 1).27 = 330
b) 1,2,3,5 , Sp = (12 + 53).6 = 65.6 = 390 , S = 390 – (2 – 1).27 = 363
c) 1,2,3,6 , Sp = (12 + 63).6 = 75.6 = 450 , S = 450 – (3 – 1).27 = 396
d) 1,2,3,7 , Sp = (12 + 73).6 = 85.6 = 510 , S = 510 – (4 – 1).27 = 429
e) 2,3,4,5 , Sp = (23 + 54).6 = 77.6 = 462 , S = 462 – (1 – 1).27 = 462
